Simetría Mecánica
Simetría Mecánica es el nombre dado a la propiedad de mantener el momento de inercia constante al girar una sección estructural.
Un cuadrado, un triángulo equilátero, un hexágono, cinco barras alrededor de un pilar: se doblan y vibran igual en cualquier dirección. Esta página presenta la idea, lo que añade la segunda edición del libro y los programas que hay detrás.
La idea
En secciones con esta simetría, el momento de inercia puede ser calculado con fórmulas específicas, simplificando algunos cálculos.
La constancia del momento de inercia repercute en la facilidad para el cálculo y en la uniformidad de los valores para las deformaciones por flexión.
Una sección con simetría mecánica se deforma o vibra igual en cualquier dirección independientemente de la posición de las cargas o la posición del elemento.
La forma más sencilla de conseguirla: toda sección con simetría rotacional de orden tres o más la tiene. El círculo es el ejemplo más conocido, pero el triángulo equilátero, el cuadrado o cinco barras alrededor de un pilar se comportan como un círculo en lo que al momento de inercia se refiere.
Lo que añade la segunda edición
La primera edición terminaba con un capítulo llamado Sin respuestas. Catorce años de trabajo intermitente, y un largo diálogo con un asistente de inteligencia artificial en el último tramo, han producido estas respuestas. Todo número que no sea una fórmula de libro de texto se recalculó con un programa.
No solo formas simétricas
La simetría rotacional de orden tres o más garantiza la simetría mecánica, pero no es la única manera. Un trapecio isósceles con las proporciones adecuadas, una sección en forma de cruz, un cuadrilátero sin ninguna simetría y una estrella suave tienen momento de inercia constante, ajustado por sus dimensiones.
El teorema 3.7 de la primera edición enunciaba que la simetría rotacional también es necesaria. La segunda edición lo amplía y explica por qué existen estas excepciones.
Una aplicación práctica
Un tubo elíptico es mucho más rígido en una dirección que en la otra. Añadir material a lo largo de su eje débil iguala las dos direcciones: en un tubo de acero de 120 × 100 × 4 mm, un alma interior de 8,23 mm de espesor, o dos aletas exteriores de 4 × 18,6 mm, dan el mismo momento de inercia respecto a los dos ejes.
Tres dimensiones
En el espacio el momento de inercia de un cuerpo es un tensor, y la simetría mecánica significa que es un múltiplo de la identidad: el mismo valor respecto a cualquier eje que pase por el centro. Todo cuerpo con la simetría del tetraedro, del cubo o del icosaedro la tiene, sea cual sea su forma o su distribución de masa, y ningún otro grupo de giros puede conseguirlo.
Así que, a diferencia del plano, hay un techo: los giros de orden cinco.
Un apéndice da los momentos de inercia y los radios de giro exactos de los cinco sólidos platónicos, los 13 arquimedianos y los 13 catalanes, en cuatro modelos de masa (vértices, aristas, caras y sólido). Los 31 son exactamente isotrópicos.
Puntos sobre una esfera
N masas iguales sobre una esfera tienen un tensor de inercia isotrópico exactamente cuando forman un 2-diseño esférico. Eso conecta el problema con el problema de Thomson de los electrones sobre una esfera, con el séptimo problema de Smale y con las cúpulas geodésicas.
La figura muestra 32 puntos, los vértices de un icosaedro y de su dual el dodecaedro: un mínimo de Thomson con solo dos longitudes de arista distintas. La simetría da la isotropía gratis; sin ella, un conjunto necesita casi tantas longitudes de arista distintas como puntos.
La energía de Thomson es una suma sobre todos los multipolos de los puntos, y la isotropía pide que solo uno de ellos, el cuadrupolo, se anule: por eso los mínimos son isotrópicos solo cuando su simetría lo fuerza.
Pirámides iguales, y una paradoja
Cortemos un sólido platónico en pirámides iguales desde su centro: pueden ser 4, 6, 8, 12 o 20. Una sola matriz puede recorrerlas todas solo para 4 y 6; para 8, 12 y 20 no puede. El grupo del icosaedro es además el menor grupo no resoluble, la puerta de la solución de Klein de la ecuación de quinto grado.
El libro
Simetría Mecánica
Revisada y ampliada, A4, en color. Ediciones en español y en inglés, en PDF.
- Introducción
- Preguntas y respuestas conocidas
- Respuestas nuevas: simetría mecánica
- Preguntas abiertas
- Preguntas desafiantes
- A. Momento de inercia de un polígono cualquiera
- B. Correcciones a la primera edición
- C. Momentos de inercia de los sólidos platónicos, arquimedianos y catalanes
- D. Fórmulas de las secciones mecánicamente simétricas
Por qué un libro
Este libro ha sido concebido y escrito para dar a conocer un nuevo concepto, la Simetría Mecánica.
Los lectores pueden descargar contenidos desde internet incluyendo documentos para docentes y estudiantes que ayudan de forma interactiva a explicar y comprender los conceptos relacionados con el Momento de Inercia y la Simetría Mecánica. También hay disponibles algunos extras.
Publicaciones ExtrasPara quienes tengan la primera edición. El teorema 3.7 de la primera edición, que decía que una sección tiene momento de inercia constante si y solo si tiene simetría rotacional de orden tres o más, se amplía en la segunda edición: otras secciones, ajustadas por sus dimensiones, también tienen la propiedad. El enunciado ampliado y las demás correcciones, incluidas las de la recopilación de fórmulas (capítulo 6), se enumeran en el apéndice B de la segunda edición, y las fórmulas corregidas vuelven como apéndice D.
Programas
Los resultados de la segunda edición se encontraron y comprobaron con tres programas. Sus páginas de ayuda (en inglés) explican qué hace cada uno.
Symmetry Explorer
Encuentra y anima todas las simetrías de 40 poliedros, comprueba la simetría mecánica y permite ver en estéreo rojo-cian.
Página de ayuda
Symmetry Mechanical
Genera y compara conjuntos de puntos sobre la esfera con distintos algoritmos.
Página de ayuda
Symmetry Domer
Diseño de cúpulas geodésicas con pocas longitudes de barra distintas y pocos tipos de panel.
Página de ayuda